ln3等于多少

ln3等于多少

ln3底数是多少

1、ln3≈1.099。

2、自然对数是以常数e为底数的对数，记作lnN（N＞0）。

3、在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义，一般表示方法为lnx。

4、数学中也常见以logx表示自然对数。

5、因此ln3 底数为e

6、e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。

7、以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

ln3是什么单位

1、ln3等于loge3,以e为底3的对数单位

2、lg是以10为底的对数。

3、ln是以e为底，自然对数。

4、log再加个数在下面，就是以那个数为底的度对数。

5、如log0.2(10），即知为以0.2为底的对数。

ln3等于log几

1、ln3等于loge3,以e为底3的对数

2、lg是以10为底的对数。

3、ln是以e为底，自然对数。

4、log再加个数在下面，就是以那个数为底的度对数。

5、如log0.2(10），即知为以0.2为底的对数。

6、具体来说：如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

7、以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN。

ln3等于多少（小乐数学科普）

小乐3n+1猜想是至今（2020-11-24）仍未被解决的数学难题之一，它断言任何一个正整数经过一种函数f(x)反复迭代之后，最终会得到1，无一例外。而函数f(x)规则很简单，当x是偶数时，f(x)=x/2；当x是奇数时，f(x)=3x+1，由于规则如此简单，上世纪这个猜想曾经在美国风靡一时（但都无果），而如今它也已经在中国初一数学习题中反复出现（小学生也应能看懂）。从本期开始，小乐将陆续整理已知公开的权威公认资料，按季发布，方便学者追踪此问题，直至此问题被彻底解决。下文主要基于英文维基百科Collatz Conjecture条目的最新版翻译而成，有删减，如有疑问，可追溯原文。

这个猜想以Lothar Collatz的名字命名，他在获得博士学位后两年于1937年提出了这个想法。也被称为3 n + 1问题，3 n + 1猜想，乌拉姆猜想（以Stanis?aw Ulam命名），角谷静夫问题（以Shizuo Kakutani命名），Thwaites猜想（以Bryan Thwaites爵士命名），哈斯算法（以Helmut Hasse命名）或雪城问题（Syracuse）。所涉及的数列有时称为冰雹数列或冰雹数字（因为这些数值通常会经历多次下降和上升，如云中的冰雹一样），或称为奇异数。

保罗·厄多斯（Paul Erd?s）谈论Collatz猜想说：“数学可能尚未做好解决此类问题的准备。” 他也为解决方案悬赏500美元。杰弗里·拉加里亚斯（Jeffrey Lagarias）在2010年指出，Collatz猜想“是一个非常困难的问题，完全超出了当今的数学范围”。

问题陈述

考虑对任意正整数执行以下操作：

如果数字是偶数，则将其除以2。如果数字是奇数，则将其乘以3并且加1。

用模算术符号表示，将函数 f定义如下：

f(n)的定义

支持论点

尽管该猜想尚未得到证明，但是大多数研究过该问题的数学家都认为该猜想是正确的，因为实验证据和启发式论证支持了这一猜想。

实验证据

至2020年，该猜想被计算机对所有小于2 ≈2.95×102?的数字检验通过。到目前为止，所有测试的初始值最终都在重复循环（4; 2; 1）中结束，该重复循环只有三项。根据起始值的下限，可以得出重复循环（除（4; 2; 1）以外）必须具有的项数的下限。1981年建立这种关系时，公式给出了项数下限是35400（如有反例循环，循环周期至少是35400）。

此计算机证据并不能证明该猜想是正确的。如波利亚Pólya猜想[注1]，梅滕斯Mertens猜想[注2]和Skewes数（最小的自然数，满足π(x)< li (x)）的情况所示，有时使用非常大的数时会找到唯一的反例。

注1：

在数论中，波利亚Pólya猜想指出，小于任何给定数的自然数中“大部分（超过一半）”具有奇数个质因子。 这个猜想是由匈牙利数学家乔治·波利亚（George Pólya）在1919年提出的，在1958年被C. Brian Haselgrove证明是错误的。后来两个反例n=906,180,359和 n=906,150,257分别被找到。

注2：

Mertens猜想是说，Mertens函数M（n）【也即1~n之间各数的莫比乌斯函数值之和】的绝对值小于n的算术平方根。 尽管现在已被证伪，但它曾隐含黎曼假设成立。 它由托马斯·约翰·安妮斯·斯蒂尔杰斯（Thomas Joannes Stieltjes）于1885年写给查尔斯·赫米特（Charles Hermite）的信中作了推测（1905年史蒂尔杰斯（Stieltjes）重印），弗朗兹·梅滕斯（Franz Mertens）（1897）再版，安德鲁·奥德利兹科（Andrew Odlyzko）和赫尔曼·特里尔（Herman te Riele）（1985）则予以反驳。 这是一个数学猜想的惊人例子，尽管有大量的计算证据对其支持，但事实证明它是错误的。

概率启发式

如果仅考虑Collatz过程生成的数列中的奇数，则每个奇数平均是前一个的3/4。（更确切地说，比值的几何平均值为3/4）这产生了一个启发式的论点，即从长远来看，每个冰雹数列都应下降，尽管这并不是针对其他周期的证据，而只是针对数列发散的证据。该论点不是一个证明，因为它假定冰雹数列是由不相关的概率事件组合而成的。（它确实严格确定了Collatz过程的2进制推广，对于几乎所有2进制起始值来说，每个乘法步骤都有两个除法步骤）

即使概率论推论是严格的，这也仍然仅暗示该猜想对于任何给定的整数几乎是正确的，这并不一定意味着它对于所有整数都是正确的。

陶哲轩（Terence Tao）（2019）使用概率证明了几乎所有Collatz轨道都受到发散到无穷大的任何函数的限制。针对这项工作，《量子杂志》写道，陶“获得了几十年来关于Collatz猜想的最重要结果之一”。

严谨的界限

在计算机辅助证明中，Krasikov和Lagarias显示，对于所有足够大的x，最终达到1的区间[1，x]中的整数数量至少等于x ?.

循环

考虑Collatz函数的“捷径”形式：

T(x)定义

唯一已知的循环是长度为2的（1; 2），称为平凡循环。

循环长度

目前已知一个非平凡循环的长度至少为 17 087 915。实际上，Eliahou（1993）证明了任何非平凡循环的周期p的形式为

p=301994a+17087915b+85137581c

其中a,b,c都是非负整数，b≥1和ac=0。这个结果是基于ln3/ln2的连分式展开得到。

类似的推理也解释了最近对大至2 的验证，从而导致改进的下限114 208 327 604 （或186 265 759 595（不使用“捷径”函数形式时）。该下限与上述结果一致，因为 114208327604=17087915× 361+85137581× 1269

k-循环

k-循环是可被划分成2k个邻接的子数列：由k个奇数构成的递增数列，与k个偶数构成的递减数列交替形成。例如，如果循环由一个奇数的递增序列组成，然后由一个偶数的递减序列组成，则称为1-循环。

Steiner（1977）证明，除了平凡的（1; 2）之外，没有其他1-循环。Simons（2004）使用Steiner的方法证明没有2-循环。Simons 和 de Weger（2005）将这一证明推广到68-循环：直到k=68，都没有k-循环。大于68时，此方法为此类循环中的元素提供上限：例如，如果存在75-循环，则该循环中至少一个元素小于2385 × 2。因此，随着计算机穷举搜索的继续，可能会排除较大的循环。说直白点：我们不需要寻找具有最多68个轨迹的循环，其中每个轨迹都包含连续的上升和下降。

猜想的其他表述逆

还有另一种方法来证明这种猜想，考虑自下而上的生长，即所谓的Collatz图。Collatz图通过逆向关系来定义：

R(n)的定义

因此，与其证明所有正整数最终都到达1，我们可以尝试证明1逆向到达所有正整数。

可以猜测，这种逆关系形成一棵树，除了1–2–4循环（即4–2–1循环的逆）。

如果使用“捷径”函数，Collatz图可改成下列逆向关系来定义：

R(n)的捷径定义

可以猜测，这种逆关系形成一棵树，除了1–2循环（即2–1循环的逆）。

看作以2为基数计算的抽象机

可以将Collatz函数的重复应用表示为处理位字符串的抽象机。机器将对任何奇数执行以下三个步骤，直到仅剩一个“ 1”为止：

将1附加到二进制数的（右）末尾（得到2n+1）；通过二进制加法将其加到原始数字中（得到2n+1 +n=3n+1）；删除所有尾“ 0”（即重复除以2，直到结果为奇数）。例子

起始数字7以2为底数写为111。所得的Collatz数列为：

二进制Collatz数列

看作奇偶校验数列

在本节中，以稍微修改的形式考虑Collatz函数

Collatz函数作为奇偶校验数列

之所以可以这样做是因为当n为奇数时，3n+1始终为偶数。

如果P（…）是一个数字的奇偶校验，即P（2n）=0以及P（2n+1）=1，那么我们可以定义数字n的Collatz奇偶校验数列（或奇偶矢量）。

(3n+ 1)/2 还是n/ 2，执行哪个操作取决于奇偶校验。奇偶校验数列与操作数列相同。

使用此形式的f（n），可以证明，当且仅当m和n模2?等价时，两个数m和n的奇偶校验数列才在前k项中一致。这意味着每个数字均由其奇偶校验数列唯一标识，而且，如果存在多个冰雹循环，则它们对应的奇偶校验循环必须不同。

将f函数k次应用于数n=2 a+b将得出结果3 a+d，其中d是将f函数k次应用于b的结果，而c是在该数列中遇到了多少上升（例如，对于2?a+1，因为1迭代到2、1、2、1，最后到2，上升了3次，所以结果是33a+ 2；而对于22a+ 1因为1上升到2并下降到1而只上升1次，因此结果是3a+1）。

当b为2-1时，将上升k次，结果将为2×3 a-1。3乘以a独立于a; 它仅取决于b的行为。这样一来，人们就可以预测某些形式的数字在经过一定次数的迭代后将始终导致较小的数字，例如，在两次施加f之后，4a+1变为3a+1；经过4次施加f，16a+ 3，变为9a+ 2。但是，这些较小的数字是否继续为1，取决于a的值。

作为标签系统

对于上述Collatz函数的形式，冰雹数列可以通过有极其简单的生成规则的 2标签系统进行计算。

a→bc,b→a,c→aaa

在这个系统中，正整数n是用a的n份字符串拷贝来表示，长度的小于2的任何单词，将导致迭代标签操作终止（改编自德摩尔）

Collatz猜想等价于指出该标签系统，以具有的任意有限长的一串a，作为初始单词，最终会终止。

推广到更大的域迭代所有整数

对Collatz猜想的推广是包括所有整数，而不仅仅是正整数。撇开无法从外部输入的0→0循环，共有4个已知循环，所有非零整数似乎最终都落入f的迭代中。这些循环在此处列出，从众所周知的正整数循环开始 ：

奇数值以大粗体显示。每个循环首先以其最小绝对值（总是奇数）的成员列出。

→4→2→1...

1→ ?2→ ?1 ...

5→ ?14→ ?7 →20 → ?10→ ?5 ...

17→ ?50 →25→ ?74 →37→ ?110 →55→ ?164 → ?82 →41→ ?122 →61→ ?182 →91→ ?272 → ?136 → ?68 → ?34 →17...

相应奇数值周期长度，分别是1、1、2、7

相应完整周期长度，分别是3、2、5、18

广义的Collatz猜想是这样的断言：每个整数在f的迭代下最终都落入上述四个循环之一或循环0→0中。0→0循环通常视为“平凡的”，因为它仅出于完整性考虑而包括在内。

迭代奇数分母的有理数

（略）

二进制推广

（略）

实数和复数迭代

Chamberland（1996）研究了实数轴上的迭代观点。他证明了猜想并不适用于实数，因为存在无数个不动点，而且轨道单调逃逸到无穷大。他还表明，至少还有另一个吸引周期：1.1925→2.1386。

在复平面上，Letherman，Schleicher和Wood（1999）对它进行了研究。平面的大多数点发散到无穷大，如下图蓝色所示（图略）。发散区域和非发散区域之间的边界显示了一种分形图案，称为“ Collatz分形”。