试根法

试根法

试根法

即猜根法，是用来试探性地求解一元三次方程的方法

一些比较复杂的因式分解也可以利用试根法来解决(试根法适用于整系数多项式的因式分解) 。

方法：

若有整系数多项式anx^n+……+a1x+a0

则记f(x)=anx^n+……+a1x+a0

分别列出最高次项系数an的约数和常数项a0的约数，把这些数分别相除，就能得到f(x)=0可能的根，代入f(x)检验，若f(a)=0，则最后多项式必含有因式(x-a)，再用综合除法得到剩下的因式

如：4x^3-12x^2+6x+4

设f(x)=4x^3-12x^2+6x+4

最高次项系数的约数为±1、±2、±4

常数项的约数为±1、±2、±4

则可能的根为±1、±2、±4、±1/2、±1/4

检验得f(2)=0

综合除法：(4x^3-12x^2+6x+4)/(x-2)=4x^2-4x-2

若只分解到有理数则4x^3-12x^2+6x+4=(x-2)(4x^2-4x-2)

试根法原理

整系数多项式anx^n+……+a1x+a0，若r/s是它的有理根（r，s互质），那么s整除an，r整除a0

试根法原理证明，求行列式试根法

1、试根法原理：就是因式定理。

2、如果一个多项式f(x)满足f(a)=0，则其可以提取出一个因式(x-a)，仅此而已。

3、试根法是用来试探性地求解一元三次方程的方法。

4、一些比较复杂的因式分解也可以利用试根法来解决(试根法适用于整系数多项式的因式分解) 。

5、若有整系数多项式anx^n+……+a1x+a0

6、则记f(x)=anx^n+……+a1x+a0

7、分别列出最高次项系数an的约数和常数项a0的约数，把这些数分别相除，就能得到f(x)=0可能的根，代入f(x)检验，若f(a)=0，则最后多项式必含有因式(x-a)，再用综合除法得到剩下的因式。

8、如：4x^3-12x^2+6x+4

9、设f(x)=4x^3-12x^2+6x+4

10、最高次项系数的约数为±1、±2、±4

11、常数项的约数为±1、±2、±4

1、对于整系数的高次多项式，试根法是首选利器试根法的理论依据是因式定理：若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式 f(x) 有一个因式 x-a例如：2x?+7x3-2x2-13x+6。

2、显然正负系数之和恰好等于0，所以f(1)=0。

3、由因式定理，上述多项式有因式x-1。

4、同理，f(-2)也恰好为0，所以上述多项式有因式x+2然后计算(2x?+7x3-2x2-13x+6)/[(x-1)(x+2)]，看是否还能因式分解

将主对角线元素中x化成t-x的形式即第2行除以3第3行除以-1此时新行列式，是特征多项式，其解出来的值，是特征值x1,x2,x3根据根之和等于矩阵的迹，得知x1+x2+x3=1+2/3+1=8/3